補数と負数

注意：補数の説明を訂正しました。
megumさんから間違っていますとのメールをいただき、読みなおしたところ、大きな間違いをしていました。そこで下記のように訂正しています。他にも間違い、説明不足などたくさんあると思いますが、その際は太チョまで連絡をお願いします。速やかに訂正します。
また、日付が古いほど勉強したてのころのものなので、間違って覚えているところがあると思われます。ご注意下さい。


◆補数
　　
○10進数　「100」の10の補数は

　　　　　100　⇔　900(10の補数という）
　　
○10進数　「100」の9の補数は　

　　　899
9　□□□　　　この「899」が「100」の9の補数といいます。　　　　　　
8　□□□　　　9の補数「899」と「100」を足すと
7　□□□　　　899＋100＝999　
6　□□□　　　その桁で表すことができる数の最大値となる
5　□□□　　　
4　□□□　　　次ぎに、9の補数「899」に1を足すと
3　□□□　　　899＋1＝900
2　□□□　　　と10の補数と同じになります
1　■□□
　　　100
　　　　　
10進数　「100」の10の補数　「900」　は　9の補数　「899」に1を足したものと同
じになる
逆に10進数「100」の　9の補数「899」に1を足した「900」が10の補数である

○補数はパソコン上では負数を足し算で表すのに使われている。

10進数「500」　から　10進数「100」　を引くとき
普通は
　　500−100＝400　
となります。

補数を利用すると
10進数　「100」　の　10の補数は「900」

500＋900＝1400　（ＰＣ上では桁上がりした1は無視される）


　○2進数　01010101の補数は
　　まず1の補数をもとめる
　　　01010101　→　反転させる　10101010　（1の補数）
　　つぎに1の補数に1を足す
　　　10101010＋00000001＝10101011
　　2進数「10101010」の補数は「10101011」となる


◆負数
　　負数(マイナス）を表すため2の補数を使う　

　　左端のビットを符号ビットとする　　
　　１１１１１１１１
　　↑
　　１の時はマイナス、０のときはプラスか０を表す

　　○10進数　-10を2進数で表すには
　　　　10（10）を2進数に変換
　　　　　→00001010　　（A)
　　　　1の補数をもとめる
　　　　　→11110101　
　　　　2の補数をもとめる
　　　　　→11110101(1の補数）に1を足す
　　　　　→11110110　　（B)
　　　　「11110110」（2）が-10（10）となる

　　検算
　　　（A)と（B)を足すと
　　　　00001010
　　＋ 11110110
　　　　---------
　　 1 00000000　　　　←　00000000（2）になる　
　　↑　
　　桁上がり
　　　もちろん10進数-10と10を足すと0ですね。

　　補数の説明は難しいですね。多くの問題を解いて覚えていくしかないかもしれません。

◆ビットで表現できる数値の範囲

2進数の場合

「0〜（2＾（ｎ-1））-1」と「-1〜-（2＾（ｎ-1））」
となる

(例）
2進数の3ビットの場合
上の公式にあてはめると
整数：（2＾（3-1））-1＝（2＾2）-1＝3
負数：-（2＾（3-1））＝-（2＾2）＝-4
よって
　3、2、1、0、-1、-2、-3、-4

★★★宿題：二種向け★（2000/1/26）

　10進数−5.625を，８ビット固定小数点形式による２進数で表したものはどれ
か。ここで，小数点位置は，４ビット目と５ビット目の間とし，負数は２の補数
表現を用いる。

　 ８ 　 ７ 　 ６ 　 ５ 　 ４ 　 ３ 　 ２ 　 １
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
│　 │ 　│ 　│ 　│ 　│ 　│　 │　 │
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
　 　 　 　 　 　 　 　 ↑
　 　 　 　 　 　小数点位置

　ア　01001100

　イ　10100101

　ウ　10100110

　エ　11010011

■解答■
　　二種午前平成１１年秋問４

　
> 5.625を2進数で表すと
> 0101.1010
> 2の補数だから、足すとちょうど
> 10000.0000になるもの、つまり
> 反転したものに0.0001を足した
> ものになる、と考えて解きました。

　どうもありがとうございました。

>マイナスだと最初のビットが１であると考えてアは違う。
>残り、イ、ウ、エで考えて小数点が４ビット目と５ビット目の間とすると
>イ、ウも整数部が５にはならないので違う。
>残りのエが正解。
>という風に考えました。

　どうもありがとうございました

(補足）
0101.1010の1の補数は
1010．0101となる
次に2の補数は
1010．0110となる
これが-5.625（10）になるというわけです。
この問題は補数、負数、小数点の複合問題です。

★★★解説：二種向け★（2000/5/10）

　2 進数 10110101 の 8 けたの 2 の補数はどれか。

　ア　01001010

　イ　01001011

　ウ　10110100

　エ　10110110

■解答■（宿題メールより）
　　二種午前平成１２年春問５

　イ　01001011

> 2の補数は10110101を反転させて１と加えます。
> 01001010 + 1 = 01001011

　どうもありがとうございました。もう一度，反転させて１を加えると？
アレっていう感じですよ。コインでいうと裏表の関係でした。

> 　１　０　１　１　０　１　０　１　を1の補数（反転）させると
> 　０　１　０　０　１　０　１　０になります。
> 　2の補数はそれに＋１をするので
> 　０　１　０　０　１　０　１　１　になります。

　どうもありがとうございました。

> 8けたの2進数の2の補数は2^8-10110101。
> 2進数に変換すると、2＾8=100000000。
> よって、100000000-10110101=01001011

　どうもありがとうございました。

　２の補数の作り方は，反転させて＋１ですので，10110101 の２の補数は，
最初の数字は，0 最後の数字が 1 で，答えは，イしかないですね。

>コンピュータ内部で負の数を「2の補数」で表現するのは、減算を
>加算で行えるからである。
>（コンピュータ・エージ社「2種共通テキスト１ ハードウェア」
>  p.40より）

　どうもありがとうございました。
　反転させて＋１数を，再度，反転させて１を加えると？
アレっていう感じですよ。コインでいうと裏表の関係でした。だから，減算が
加算になるのでしょう。

★★★宿題：二種(基本情報技術者)向け★（2000/8/23）

　2 進数の表現で，2 の補数を使用する理由はどれか。

　ア　減算を加算処理で行うことができる。

　イ　最下位ビットで，正数と負数が判断できる。

　ウ　除算を減算の組合せで処理できる。

　エ　ビットの反転によって，負数を求めることができる。

（解答）

１０進数の１０−１０を考えて見ましょう。

ＰＣは２進数表現しかできないから上記計算は２進数に変換して行います。
１０進数　　２進数
　１０　→　０１０１
ー１０　→　１０１１　求め方はいちばん上の説明を読んでください。

１０-１０→０１０１＋１０１１＝１００００＝０　となります
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　
　　　　　　　　　　　　　　　　この１ははみ出し、無視される。
つまり、２の補数を利用することにより減算を加算で行うことができます。

■解答■
　　一種午前平成１２年問４

> 負数の表し方〜
>http://axion.ee.uec.ac.jp/~cvs/ic2/note/complement.html

　どうもありがとうございました。

> 減算を加算と同じ回路で行うためでしょうか。
> そして、1の補数では +0 と -0 ができてしまうので。
>
> http://hts.iprs.sfc.keio.ac.jp/%7Ehts/data/jtext/b3-4.html
> 　「 （1）入力機能　　数の2元符号化 」の説明を参考にしました。
>
> http://pegasus.cs.shinshu-u.ac.jp/%7Eyizawa/logic/chap9/chap9.html
> 組合せ回路について参考にしました。

　どうもありがとうございました。