誤差

■誤差とは
　　正しい値との差

■絶対誤差
　　計算結果から真の値を引いた差

■相対誤差
　　絶対誤差と真の値との差

■誤差の種類

★★★宿題：二種向け★（2000/3/6）

　けた落ちによる誤差に関する記述として，正しいものはどれか。

　ア　指定された有効けた数で演算結果を表すために，切捨て，切上げ，四捨五
　　入などで下位のけたを削除することによって発生する誤差

　イ　絶対値の非常に大きな数と小さな数の足し算や引き算を行ったとき，小さ
　　い数が試算結果に反映されないために発生する誤差

　ウ　絶対値のほぼ等しい二つの数の絶対値の差を求めたとき，有効けたが減る
　　ために発生する誤差

　エ　浮動小数点数の計算処理の打ち切りと，指定した規則で行うことによって
　　発生する誤差

（解答）
ア：丸め誤差
イ：情報落ち
ウ：けた落ち
エ：けたあふれ

■解答■(宿題メールより）
　　二種午前平成１１年春問１０

> ア：丸め誤差
> イ：情報落ち誤差
> ウ：桁落ち誤差（正解）
> エ：打切り誤差

　どうもありがとうございました。

> 日経BP.Find'X(http://findx.nikkeibp.co.jp/static/yogo.html)にて、
> 「けた落ち」で検索したところ、途中に
> 「極めて近い値同士の減算を行うと、有効けた数が大幅に減ってしまう。」
> と書かれていました。

　どうもありがとうございました。

> http://www.educ.info.kanagawa-u.ac.jp/~s975540/page13.html
> から

　どうもありがとうございました。

> ア：丸目誤差
> イ：情報落ち誤差
> ウ：けた落ち誤差
> エ：打ち切り誤差
>
> ◎情報処理用語辞典（新星出版社）P.145　の表を参照

　アの丸めは，「丸目」ですか？　

> 用語は辞書等で調べれば分かりますが、実際にどの様な影響があるかは把握出来
> ていません(^_^;)

　科学技術計算のときは，重要です。事務計算のときは，情報落ち，けた落ちは
ほとんど関係ないですね。

★★★解説：二種向け★(2000/4/20)

　面積 S の円を描くときに，S の相対誤差を 1 % 以下にするためには，半径 r
の相対誤差をおよそ何 % 以下にする必要があるか。

　ア　0.1

　イ　0.5

　ウ　1

　エ　2

■解答■
　　二種午前平成１２年春問９

　イ　0.5

> 円の面積の真値をSとすると誤差の上限は題意よりS＊1.01
> この時の半径R1とし、半径の真値をROとすると
> π*R1^2 = π*RO^2*1.01
> R1=RO*1.004987となります。
> 下限も同様に
> π*R1^2 = π*R0^2*0.99
> R1=RO*0.994987となります。
> すなわち、半径R１のとりうる値の範囲は
> 0.995*RO＝＜R1＝＜1.005*ROとなり誤差の範囲は上下0.5％

　どうもありがとうございました。

>円の面積は, S = πr^2 で表され,πは円周率で固定値であるので,
>Sの誤差 1% は, r^2の誤差が 1% であることが分かる。
>r^2 = 10,000 (r=100) の場合を考えると
>r^2 =  9,900 (誤差1%) を満たす, rを求めればよい
>ア.99.9×99.9 = 9,980.01 → 誤差 約 0.2%
>イ.99.5×99.5 = 9,900.25 → 誤差 約 1% (正解)
>ウ.99.0×99.0 = 9,801.00 → 誤差 約 2%
>エ.98.0×98.0 = 9,604.00 → 誤差 約 4%

　どうもありがとうございました。

なるほど、解答を見れば理解できますね。
本番では勘で解答しました。そして、偶然にもあってしまったようです。(^_^;)

★★★宿題：二種(基本情報技術者)向け★（2000/8/25）

　浮動小数点演算において，絶対値の大きな数と絶対値の小さな数の加減算を行
った場合，絶対値の小さな数が事実上無視されることを何というか。

　ア　打切り誤差

　イ　けた落ち

　ウ　情報落ち

　エ　丸め誤差

（解説）

これは上のノートの説明で十分理解できますね。

■解答■（宿題メールより）
　　一種午前平成１２年問５

> http://bluebird.cs.miyazaki-u.ac.jp/~yokomich/education/ensyu3-1999
> /19990426/node5.html

　どうもありがとうございました。

> 例えば、仮数部が２４ビットの時、
>
> (0.123456)16 ×16^2 ＋ (0.123456)16 ×16^-2
>
>     12.3456
> +    0.00123456
> ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
>     12.34683456
>
> が真の値ですが、計算結果は12.4368となり、0.00003456が反映されない。

　どうもありがとうございました。

> 　打ち切り誤差：計算処理が自然に終了する前に指定した規則で計算処理を
> うち切ることによって発生する誤差。
> 　けた落ち：絶対値のほぼ等しい２つの数の絶対差を求めたときに、有効けたが
> 減ること。
> 　情報落ち：絶対値の大きな数と非常に小さな数の足し算や引き算で、小さい数が
> 計算結果に反映されないこと。
> 　丸め誤差：演算結果を指定した有効けたで表すために、切り捨て、切り上げ、四捨
> 五入
> などで、下位のけたを削除することで発生する誤差。
> 　（情報処理用語辞典（新星出版社）　p.81 p.134 p.184 p.355）
>
> 　打ち切りは「計算処理をうち切る」、
> けた落ちは「”絶対値がほぼ等しい”と”けた”」、
> 情報落ちは「絶対値が大きいと小さい」、
> 丸め誤差は「下位のけたを丸める」、
> と、おおまかに、その言葉から連想するように覚えるようにしたら
> 覚えることが出来ました（＾＾）

　どうもありがとうございました。

> 情報落ちの例
> 仮数部の有効桁が8桁と仮定する。
> a=1.2345678×10^3=1234.5678
> b=1.2345678×10^-3=0.0012345678
> a+b=1234.5690345678となるところが、有効桁8桁のため、
> 1234.5690という結果になってしまい、値bがほとんど無視された状態になる。
> (合格情報処理5月号付録、基本用語辞典p78、情報落ち誤差を参考にしました。)

　どうもありがとうございました。

> ・丸め誤差
> 真の数値から有効桁数の少ない概数を作ることを「丸め」といい、 この「丸め」
> によって生じる誤差が丸め誤差です。
> 例えば、62.29の少数第２位を次のように丸めると、それによって誤差が生じます。
> 62.29　→　62.3　四捨五入
> 62.29　→　62.3　切り上げ
> 62.29　→　62.2　切り捨て
> （http://ha1.seikyou.ne.jp/home/hidechan/jouhou/kiso.html）

　どうもありがとうございました。